топология что это такое простыми словами

Значение слова «топология»

[От греч. τόπος — место и λόγος — учение]

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

В самом общем виде — явление непрерывности;

В частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).

ТОПОЛО’ГИЯ, и, мн. нет, ж. [от греч. topos — место и logos — учение] (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т. е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

тополо́гия

1. матем. раздел математики, изучающий качественные свойства (связность, ориентируемость и т. п.) геометрических фигур, поверхностей и т. п., не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и т. п.

2. разг. набор, совокупность геометрических свойств фигуры, поверхности

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: омертвление — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Источник

Введение в топологию (для чайников и гуманитариев)

Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства. В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топологией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.

Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже — враньё! Ну, или по крайней мере часть.

Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.

Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.

Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например. С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.

Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов, которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.

Множества бывают конечными.

Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).

Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.

Если множество бесконечно, оно бывает счетным. Счетные — те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.

С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.

Обобщением понятия размера для множеств является мощность. Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность—это мощность ℵ₀. Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая — мощность континуума. Она обозначается маленькой готической буквой с. Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности ℵ₁. Т.е., что это следующая после мощности счетных множеств мощность, и нет никакой промежуточной мощности между счетными множествами и континуумом.

Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.

1. Множества можно объединять.

2. Множества можно «вычитать». Эта операция называется дополнением.

3. Можно искать пересечение множеств.

Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология — это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:

1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.

Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.

Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.

Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией. Вот она.

Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек. Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.

На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.

А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.

Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством.

Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много ), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись — выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников — это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.

Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии — гораздо удобнее.

Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.

С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности. Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p — это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S₁ является окрестностью точки p, а множество S₂ нет.

Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество — такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность, лежащую в данном множестве. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.

Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).

UPD. Из-за неаккуратности моей речи, возникло некоторое недоумение относительно мощностей множеств. Я несколько исправил свой текст и здесь хочу дать пояснение. Кантор, создавая свою теорию множеств, ввел понятие мощности, которое позволяло сравнивать бесконечные множества. Кантор установил, что мощности счетных множеств (например, рациональных чисел) и континуума (например, вещественных чисел) различны. Он предположил, что мощность континуума является следующей после мощности счетных множеств т.е. равна алеф-один. Кантор пытался доказать эту гипотезу, но безуспешно. Позже стало ясно, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

Источник

sychuanka

My blog about different things

Итак, фундаментальное понятие современной математики—это множество. Поэтому считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Конечно, можно описать множества иносказательно и объяснить, что является множеством, а что нет. Кантор—один из содздателей теории множеств— говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». С теорией множеств, кстати, был связан знаменитый математический кризис в начале 20-го века. Не стоит и говорить, что эта теория преподносит множество удивитиельных парадоксов о которых можно много где почитать. Например.
Некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве основ использовать теорию категорий, о которой тоже можно почитать в википедии.
Но перейдем к множествам.

Выше пример множества элементами которого являются 7 разноцветных звездочек. Множествам обычно дают имена в виде прописных латинских букв. Разумеется имена целиком произвольны, за исключением некоторых устоявшихся соглашений насчет ряда важных множеств. Если вы хотите сказать, что какой-то элемент принадлежит множеству используется похожий на вилку знак ∈ . Например, 2 ∈ ℤ т.е. число два принадлежит множеству целых чисел.

Множество состоящее из трех цветных треугольников. Эти два множества являются конечными.
Вот еще конечное множество.

Есть уйма бесконечных множеств. Например, множество целых чисел, уоторое называется ℤ.

Какие множества счётны? Например, сами натуральные числа. Действительно, нет ничего проще, чем перенумеровать натутральные числа с помощью натуральных чисел. Пусть единица будет первым номером, два вторым номером и т.д.
Менее очевидно, что целые числа и даже рациональные имеют такую же мощность—им всем можно сопоставить натуральные номера. Т.е. с точки зрения теории множеств их как бы одинаково много, хотя казалось бы целых чисел должно быть раза в два больше, чем натуральных, а рациональных так вообще намного больше. (Напомню, что рациональные — это числа вроде 2,3678 и т.д.) Удивительно, но всех их одинаково много.
Вот пример, как можно «пересчитать», все целые числа. Или, говоря по-простому, как им можно сопоставить порядковый номер. Конечно, на картинке я не все числа выписал, но главное, что я показал саму процедуру, которая все эти числа захватит. Это означает, что как и в случае с натуральными числами их мощность ℵ_0.

Над множествами можно проводить разные операции, кторые приводят к появлению новых множеств.

Например, объединять. Это обозначается знаком похожим на латинскую букву U. Думаю тут все ясно без пояснений. Единственное, на что стоит обратить внимание, это то, что элементы множества не дублируются. Т.е. рыжая звёздочка, которая есть в двух множествах — это одна и та же звёздочка и при объединении она остается одним элементом. Скажем, если вы объедините <1,2>U <2,3>, то будет <1,2,3>, и не в коем случае, не <1,2,2,3>. Во вселенной только одна 2 и одна рыжая звездочка. Это похоже на историю со спорными териториями. Например, англичане и аргентинцы называют одни и те же острова Фолклендскими и Мальвинскими, и считают их частью множеств британских и аргентинских земель. Но как ни крути острова от этого не удваиваются и в множестве территорий планеты Земля присутствуют только в одном экземпляре.

Пересечение множеств — это выделение тех элементов, которые в них совпадают. Обозначается ∩. Если вы занимались векторной графикой все эти операции вам должны быть знакомы очень хорошо. Они есть и в Кореле, и в Заре, и в Иллюстраторе. Если у множеств нет общих элементов, то их пересечение пусто. Вообщем-то, пустое множество позволяет проводить над любыми множествами эти операции и не думать, можно это делать или нет. Так что от пустого множества много пользы.

Кроме этих операций существует и понятие разности множеств, которое называется дополнение. На рисунке внизу, надеюсь понятна суть.

Если вычесть из множества пустое множество, то оно никак не изменится. Если из пустого множества вычесть любое непустое получится пустое.
Все сказанное относится к теории множеств — разделу математики, который изучает множества на самом общем уровне. Это очень важная и интересная дисциплина, которая лежит у самых корней математики. Что-бы в математике вы не изучали, теорию множеств надо знать.
Топология — изучает множества с определенными свойствами, о которых мы поговорим дальше.

Выше я нарисовал множество T, которое состоит из самого множества S и пустого множества. Это топология на S ₂. Она удовлетворяет первому пункту определения. Это сразу видно. Посмотрим на два других. Объединение трех треугольников и ∅ — это множество трех треугольников и оно, очевидно, лежит в T. Пересечением будет пустое множество и оно тоже есть на картинке. Больше объединять и пересекать тут нечего. Отсюда следует, что T есть топология на S. Эта топология называется антидискретной и она очень-очень скучна. Если бы наша вселенная имела такую топологию, ничего хорошего вы бы в ней не нашли. Эта топология называется еще тривиальной или топологией слипшихся точек, потому что в ней все тривиально и все точки как-бы слились в одно целое.
Полной противоположностью, но такой же тоскливой является топология дискретная. Зададим ее на том же множестве.

Дискретная топология — это топология состоящая из всех подмножеств множества. Попробуйте посмотреть на картинку сверху и попересекать и пообъединять разные подмножества. результат всех этих операций должен быть где-то на картинке, иначе я нарисовал не топологию, а какую-то чепуху. Например,
<фиолетовый, желтый>U <красный, фиолетовый>= <фиолетовый, желтый, красный>и т.д.

А вот еще одна топология труднее. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я на всякий случай обозначил буквами. Специального названия у нее нет. Убедитесь, что это топология. Честно говоря, я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение.
Если в множестве много точек, то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4 уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. А если в множестве бесконечно много точек? Для того, чтобы не перечислять все открытые множества изпользуется как бы сокращенная запись—выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все остальные открытые множества. Это называется базой топологии. например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию.
Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии описываетс целых 32 открытых множества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии—гораздо удобнее.

Конечно, база какой-нибудь другой не дискретной топологии, может быть гораздо сложнее. Существует понятие предбазы — это множество элементы которой при объединении дают базу данной топологии.
Ну вот мы почти достигли завершения. Осталось сказать, что пара из множества и топологии на нем называется топологическим пространством.
Ниже я сотворил маленькую вселенную, которая состоит из трех цветных треугольников. Эти треугольники являются точками моей вселенной. Вселенная имеет, как можно видеть, дискретную топологию. То что точками «вселенной» оказались цветные треугольники удивлять не должно. В математике пространство может состоять из разных вещей, например, из векторов (стрелок) или функций, или операторов или еще чего-нибудь столь же странного. Все эти штуки в таком случае называются точками пространства, независимо от того, что они на самом деле.

Именно такие пространства изучает топология.

Источник

Топология

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.

Содержание

История

Раздел математики, который мы теперь называем топологией, берет свое начало с изучения некоторых задач геометрии. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Ньютона, Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.

Когда топология еще только зарождалась (конец XIX века), ее называли геометрия размещения (лат. geometria situs ) или анализ размещения (лат. analysis situs ). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия. Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.

Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Топология» в других словарях:

топология — топология … Орфографический словарь-справочник

топология — Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика

ТОПОЛОГИЯ — в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия

ТОПОЛОГИЯ — ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний). Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб,… … Научно-технический энциклопедический словарь

ТОПОЛОГИЯ — ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos место и logos учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.). Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова

топология — сущ., кол во синонимов: 1 • математика (29) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Топология — Topology раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

топология ИС — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN integrated circuit layout … Справочник технического переводчика

Источник