теория хаоса что это такое простыми словами
Теория хаоса в быту, или Как чашка кофе разрушит вашу жизнь
Согласно теории хаоса, даже небольшие изменения в нашем мире приводят к непредсказуемым последствиям в другом месте и в другое время.
Эдвард Лоренц, основоположник теории хаоса, назвал это явление эффектом бабочки.
Взмах крыла бабочки в Айове вызывает цепочку ошибок и неопределенности, которые нарастают лавинообразно с течением времени и в кульминации приводят к урагану в Индонезии (Эдвард Лоренц). «Эффект бабочки». Композиция в парке скульптур DeCordova (США). Источник фото: Flickr.com
Человеческое поведение — такая же сложная система. Это означает, что одно, само по себе незначительное, действие приводит нас к сложным и непредсказуемым последствиям.
…а вечером обнаруживаете, что времени на важную работу уже не осталось. Это приводит к срыву сроков сдачи или к посредственному качеству работы. Срыв сроков и посредственная работа в свою очередь станут причиной для последующих событий. И так далее.
Как незначительные события приводят к грандиозным последствиям
Каждое наше действие или решение, так же, как и взмах крыла бабочки, имеет множество значительных и непредсказуемых последствий. Некоторые из них позитивные — они помогают структурировать нашу жизнь и достигать целей, а другие, наоборот, негативные — создают хаос и лишают чувства контроля. Поэтому критически важно осознанно выявлять события, обладающие эффектом бабочки и управлять ими.
Вот еще несколько примеров негативных и позитивных «бабочек»:
Негативные:
Позитивные:
Хорошая новость в том, что понимание этого принципа позволяет управлять «бабочками»: предупреждать появление негативных и превращать в привычки позитивные.
Так и создается дисциплина — не благодаря силе воли, а благодаря действиям, обладающим эффектом бабочки, превращенным в привычку.
Почему грандиозные планы обречены на провал
Понимание этого принципа дает нам точку приложения рычага.
Вычислив событие, обладающее эффектом бабочки, мы можем направить фокус внимания на него. И тогда все остальное изменится само собой или станет значительно проще.
Когда я осознал ценность фокуса и понял, как бездарно сливаю время на текучку, не стал устраивать революцию в своей жизни, потому что знал, что в долгосрочной перспективе это не сработает.
Вместо этого я ввел одно правило: начинать день не с новостей и проверки почты, а с 50-минутного фокус-блока изучения английского.
Как только я это сделал, почувствовал себя дисциплинированнее, мои мускулы фокуса стали сильнее, после этого мне было уже легче добавить еще один фокус-блок творческой работы.
Сравните это с традиционным подходом: многие люди хотят сбросить вес или просто стать сильнее. Идея начать с одного маленького действия — ежедневной 5-минутной зарядки или здорового завтрака не вдохновляет их — они презирают такие цели, считая их незначительными.
Вместо этого они «начинают новую жизнь с понедельника»: покупают абонемент в спортзал и спортивную экипировку, нанимают личного тренера, составляют программу тренировки на 6 дней в неделю и садятся на новомодную детокс-диету…
…и все это для того, чтобы через две недели окончательно выгореть и с чувством вины вернуться к привычному комфортному образу жизни.
Подчиняем хаос
Мы не можем постоянно контролировать свои реакции, но можем контролировать события, которые определяют то, что происходит с нами.
Первый шаг к управлению поведением в том, чтобы начать осознанно замечать негативные «бабочки» и заменять их позитивными. Если ваша жизнь структурирована слабо, вы легко найдете в ней десяток таких событий.
Возьмите лист бумаги и разбейте его на три столбца:
1. В первую колонку выпишите серые зоны — временные блоки, которые проводите вне фокуса: бесцельный интернет-серфинг, непродуктивная поверхностная работа, время с близкими людьми с мыслями о работе.
2. Во второй колонке выявите триггеры, приводящие в серую зону: привычка начинать день с проверки почты, стопка неоплаченных счетов и входящих бумаг в углу рабочего стола, оттягивающая на себя внимание, отсутствие понятного плана действий.
3. В третьей колонке выпишите новые события, которыми вы замените привычные триггеры.
Вот пример одной из моих таблиц:
Таблица помогает выявить события, которые приводят нас в серые зоны, и позволяет осознанно управлять ими.
Так, например, одного осознания факта, что я трачу утреннее время на новости и бесцельный серфинг, для меня оказалось не достаточным. Утром я просто не мог заставить себя взяться за серьезную творческую работу: мой мозг как будто еще не проснулся до конца и все внутри меня сопротивлялось этому. По-настоящему продуктивным я становился только ближе к 11 утра.
Тогда я добавил несколько простых действий, которые позволили переломить ситуацию:
Теперь к 12:00 я успеваю выполнить все самые важные дела, а раньше в это время мог только приступать к работе.
Выводы
1. Человеческое поведение — сложная система. Это означает, что одно, само по себе незначительное, действие приводит нас к сложным и непредсказуемым последствиям.
2. Люди допускают ошибку, думая о поведении, как о линейном процессе, в котором каждое действие или решение не зависит от предыдущих и не влияет на последующие. Из-за этого теряется связь между причиной и следствием.
3. Каждое наше действие или решение имеет множество значительных и непредсказуемых последствий. Некоторые из них позитивные — они помогают структурировать нашу жизнь и достигать целей, а другие, наоборот, негативные — создают хаос и лишают чувства контроля.
4. Понимания этого принципа дает нам точку приложения рычага. Вычислив события, обладающие эффектом бабочки и сфокусировавшись на них, мы делаем все остальное значительно проще.
5. Первый шаг к управлению жизнью в том, чтобы начать осознанно замечать «негативные бабочки» и заменять их «позитивными».
6. Мы можем управлять «бабочками»: предупреждать появление «негативных» и превращать в привычки «позитивные». Так создается дисциплина — не благодаря силе воле, а благодаря действиям, обладающим эффектом бабочки, превращенным в привычку.
Краткое введение в Теорию Хаоса
Все в мире целиком и полностью имеет свои причины и последствия. Возможно, эта мысль навела меня на осознание того, что все в мире взаимосвязано. Всему есть свои причины. Даже в случайности заложено движение к какой-то цели.
События, кажущиеся случайными, происходят в определенной последовательности.
Что в точности есть хаос? Название «Теория Хаоса» произошло благодаря тому факту, что системы, описываемые теорией, взятые по кусочкам- неупорядочены, но Теория Хаоса на самом деле заключается в том, чтобы найти скрытый порядок в кажущихся случайными данных.
Когда был открыт Хаос? Первый истинный экспериментатор в области Хаоса был метеоролог Эдвард Лоренс. В 1960 году он работал над проблемой предсказания погоды. У него была компьютерная установка с набором из 12 уравнений, моделирующих погоду (имеются ввиду воздушные потоки в атмосфере)[уточнение тут]. Они сами по себе не предсказывали погоду. Но как бы то ни было, компьютерная программа теоретически предсказывала, какой могла быть погода.
Однажды в 1961 году он [Эдвард Лоренс] снова захотел посмотреть особенную последовательность. Чтобы сэкономить время, он начал с середины последовательности, вместо того, чтобы сделать это сначала. Он ввел числа из распечатки и запустил программу…
Когда он вернулся часом позже, закономерность была решена по-другому. Вместо той же модели, что была прежде, была модель, отклоняющаяся в конце очень сильно, отличаясь от оригинальной (см. Рисунок 1). В конце –концов он выяснил, что произошло. Компьютер поместил в память 6 чисел после запятой. Чтобы сэкономить бумагу, он вводил только 3 числа после запятой. В оригинальном порядке было число 0.0506127, а он напечатал только 0.506.
Рисунок 1 – Эксперимент Лоренса: разница в начале между этими кривыми всего лишь 0.000127(Ян Стюарт, «Does God Play Dice?», Математика Хаоса, стр.141)
По общепринятому мнению того времени это должно было сработать. Он должен был получить порядок очень близкий к оригинальному. Ученый мог посчитать себя счастливцем, получив измерения с точностью до 3 чисел после запятой. Конечно, измерить 4-ю и 5-ю цифру, используя рациональные методы, было невозможно, и это не могло повлиять на результат эксперимента. Лоренс посчитал идею неверной. Этот эффект известен как Эффект Бабочки. Разница в начальных точках двух кривых настолько мала, что сравнима с порханием крыльев бабочки [в реальной жизни].
Движение крыльев одной бабочки сегодня создает малейшие изменения состояния атмосферы. По прошествии времени атмосфера отличается от той, какой она могла бы быть. Таким образом, через месяц Торнадо, который мог обрушиться на Индонезию, не появляется. Или, если он не должен был появиться, он появляется.(Ян Стюарт, «Does God Play Dice?», Математика Хаоса, стр.141).
Этот феномен, в общем называемый Теорией Хаоса, также известен как чувствительная зависимость от начальных условий. Всего лишь маленькое изменение в начальных условиях может кардинально изменить поведение системы, рассматриваемой длительный период времени. Такая маленькая разница в измерениях может быть вызвана в эксперименте шумом, фоновым шумом или неисправностью оборудования. Этих вещей невозможно избежать даже в самой изолированной лаборатории.
Начиная с числа 2, в итоге может получиться результат, всецело отличающийся от результатов такой же системы с начальной цифрой 2.000001. Это просто невозможно- достигнуть такого уровня точности- просто попытайтесь измерить что-нибудь с точностью до миллионной доли дюйма!Исходя из этой идеи, Лоренс установил невозможность точного предсказания погоды. Как бы то ни было, это открытие привело Лоренса к другим аспектам того, что впоследствии стало известным как Теория Хаоса.
Лоренс начал наблюдать за простейшими системами, которые чувствительны к разнице в начальных условиях. Его первое открытие имело 12 уравнений, и он хотел его очень упростить, но чтобы оно все же имело этот атрибут[чувствительность к разнице в начальных условиях]. Он взял уравнения конвекции и сделал их неимоверно простыми. Эта система больше не имела отношения к конвекции, но имела чувствительность к разнице в начальных условиях, и на этот раз осталось всего лишь 3 уравнения. Позже было установлено, что эти уравнения описывают водоворот.
На поверхности вода неуклонно образует как бы обод колеса. Каждый «обод» расходится от маленького отверстия Если поток воды имеет маленькую скорость, «ободки» никогда не станут достаточно быстрыми, чтобы образовался водоворот. Вращение может продолжаться. Или, если поток настолько быстрый, что тяжелые «ободы» все время вращаются вокруг дна и поверхности, водоворот может замедлиться, остановиться и поменять направление вращения, вращаясь сначала в одну сторону, а затем в другую. (James Gleick, Теория Хаоса, стр. 29)
Уравнения для этой системы также казалось, показывали общую случайность поведения.Как бы то ни было, когда был построен график, он был удивлен [Лоренс]. Выходные параметры всегда оставались на кривой, образуя двойную спираль. До этого было известно только два типа порядка: постоянное состояние, в котором переменные никогда не меняются, и периодичное состояние, в котором система циклична, и неопределенно повторяется. Уравнения Лоренса были определенно упорядочены- они всегда следовали по спирали. Они никогда не останавливались на одной точке, но никогда не повторяли то же состояние, то есть не были периодичными. Он назвал полученные уравнеия аттрактором Лоренса(см. Рисунок 2).
Рисунок 2 – Аттрактор Лоренса
В 1963 Лоренс опубликовал статью, описывающую его открытие. Он включил туда статью о непредсказуемости погоды и обсудил все типы уравнений, вызвавших этот тип поведения. К несчастью, единственным журналом, в котором он мог опубликовать свою статью, был метеорологический журнал, так как он был не физиком или математиком, a метеорологом. В результате открытия Лоренса не были известны до тех пор, пока не были открыты снова другими людьми. Лоренс открыл нечто революционное, и ждал, пока кто-то откроет его.
Другая система, в которой есть чувствительность к разнице в начальных условиях- бросание монетки. Есть две переменные в бросании монетки: как скоро она упадет и как быстро она вращается. Теоретически, возможно контролировать эти две переменные полностью, и контролировать- как монетка упадет. На практике невозможно контролировать абсолютно точно скорость вращения монеты и то, насколько она подлетит. Возможно только поместить эти переменные в определенном диапазоне, но невозможно контролировать их настолько, чтобы знать результат.
Схожая проблема имеет место в экологии и предсказании биологических популяций. Уравнение простое, если популяция растет определенно, но хищники и ограниченность в пище делают это уравнение неверным. Самое простое уравнение имеет вид:
next year’s population = r * this year’s population * (1 — this year’s population) [где next year’s population-популяция в следующем году, this year’s population- популяция в этом году]
В этом уравнении популяция описывается числом между 1 и 0, где 1 представляет собой максимально возможную популяцию, а 0- вымирание. R- показатель роста. Вопрос состоял в том, как этот параметр влияет на популяцию? Очевидный ответ- высокий показатель роста популяции значит установление высокого уровня, в то время как низкий означает, что популяция упадет. Это условие истинно для некоторых показателей роста, но не для всех.
Биолог Роберт Мэй, решил выяснить, что случится с уравнением, если повышать показатель роста. При низких значениях популяция устанавливалась на каком-либо определенном значении. Для показателя равного 2.7 она устанавливалась на уровне 0.6292. Далее при увеличении показателя роста популяции«R», итоговая популяция также росла. Но затем случалось нечто странное.
Как только показатель превышал 3, линия разделялась надвое. Вместо устанавливания в каком-то определенном положении, она «прыгала» между двумя различными значениями. Она имела одно значение в одном году, и совершенно иное- в следующем. И так этот цикл повторялся постоянно. Повышение показателя роста вызывало скачки между двумя разными значениями.
Как только параметр повышался далее, линия бифурцировала(раздваивалась) снова. Бифуркации происходили быстрее и быстрее, до тех пор, пока неожиданно не становились хаотичными. Устанавливая точный показатель роста невозможно предсказать поведение уравнения. Как бы то ни было, при ближайшем исследовании можно увидеть белые полоски. Посмотрев на эти полоски ближе обнаруживаем ряд маленьких окон, где через бифуркации проходит линия, перед тем, как вновь вернуться к состоянию хаоса. Эта похожесть на саму себя,- факт того, что график- точная копия его самого, спрятанного глубоко внутри.Это стало очень важным аспектом хаоса.(рисунок 3)
Рисунок 3- Бифуркация
Служащий IBM Бенуа Мандельброт был математиком, изучавшим эту самопохожесть. Одной из областей, которые он изучал, было колебание цен на хлопок. Неважно, как были проанализированы данные о ценах на хлопок, результаты не были распределенными нормально. Мандельброт в конечном счете получил все доступные данные о ценах на хлопок, вплоть до 1900 года. Когда он проанализировал данные с помощью ЭВМ, он заметил поразительный факт:число с точки зрения нормальных продаж было симметрично относительно точки зрения в масштабе. Каждая отдельная цена менялась случайно и непредсказуемо. Но расчет изменений был независим от масштабов: кривые дневных и месячных колебаний цен абсолютно совпадали. Поразительно, но проанализированные Мандельбротом изменения цен оставались постоянными на протяжении всего шумного периода 60-х, Второй Мировой и депрессии.( James Gleick, Chaos — Making a New Science, стр. 86)
Мандельброт проанализировал не только цены на хлопок, но и другие явления. Одним из них была протяженность береговой линии. Карта побережья показывает множество заливов. Но как бы то ни было, при подсчете длины береговой линии будут упущены мелкие заливы, которые слишком малы, чтобы быть показанными на карте. Это подобно тому, как при прогулке по берегу мы пропускаем микроскопические промежутки между песчинками. Неважно, насколько увеличить линию побережья, будет больше видимых промежутков при приближении.
Один математик, Хельге вон Кох взл эту идею для математического конструирования, названного кривой Коха. Чтобы создать кривую Коха, представьте равносторонний треугольник. К середине каждой стороны дорисуйте еще по равностороннему треугольнику.Продолжайте добавлять новые треугольники к серединам каждой из сторон, и в результате получите кривую Коха.(см. Рисунок 4).
Приближенная кривая Коха выглядит точно так же, как и оригинал. Это другой пример самопохожести.
Кривые Коха заключают в себе интересный парадокс. Каждый раз, когда добавляется очередной треугольник, длина линии становится больше. Но как бы то ни было, внутренняя площадь[ограниченная] кривой Коха всегда остается меньше площади описанной окружности вокруг первого треугольника. То есть это линия неограниченной длины, заключенная в ограниченной области.
Чтобы разобраться в этом, математики использовали понятие фрактала. Фрактал происходит от слова дробный. Фрактальное дробление кривой Коха составляет примерно 1.26. Фрактальное дробление невозможно придумать, но оно имеет смысл. Кривая Коха более грубая, чем гладкая кривая линия, у которой единичное дробление. Так как она грубее и более «морщинистая», она лучше занимает пространство. Как бы то ни было, она не так хороша в заполнении пространства как квадрат с двумя дроблениями, поскольку не имеет площади. Это означает, что дробление кривой Коха меньше 2.
Под фракталом имеется ввиду любое изображение, имеющее в себе самопохожесть. Бифуркационная диаграмма уравнения популяции- фрактал. Аттрактор Лоренса- фрактал.Кривая Коха- тоже фрактал.
В это время ученые нашли трудным публиковать работы о Хаосе. С тех пор как они еще не показали его отношение к реальному миру. Большинство ученых не думали, что результаты экспериментов относительно Хаоса важны. Как результат, даже несмотря на то, что Хаос- математический феномен, большинство исследований в области Хаоса были сделаны людьми, являющимися специалистами в других областях, таких как метеорология и экология. Изучение области распространения Хаоса – было хобби для ученых, работающих над проблемой, что же с этим делать.
Позже, ученый по фамилии Фигенбаум снова исследовал диаграмму бифуркации.Он исследовал скорость наступления бифуркации. Он открыл, что она наступает при постоянном показателе. Он вычислил, что это число 4.669. другими словами, он определил точный масштаб при котором кривая бифуркации приобретает свойство самопохожести.
Уменьшенная в 4.669 раз, диаграмма выглядит как последующий регион бифуркации. Он решил посмотреть на другие уравнения чтобы увидеть, возможно ли применить фактор масштаба и к ним. К большому удивлению, фактор масштаба оказался таким же. Не только для сложных уравнений, описывающих закономерность.Закономерность была точно такой же как и у простых уравнений.Он опробовал множество функций, и они давали фактор масштабирования 4.669.
Это было революционным открытием. Он обнаружил целый класс математических функций, ведущих себя одинаково, предсказуемо. Универсальность помогла многим ученым легко анализировать уравнения хаоса. Она дала ученым первые инструменты для анализа хаотических систем. Теперь они могли использовать простые уравнения для получения результата более сложных.
Многие ученые открыли уравнения, создающие фрактальные уравнения. Самое известное изображение фрактала- является и самым простым. Оно известно как уравнение Мандельброта. Уравнение простое: z=z 2 +c. Чтобы выяснить, является ли ваше уравнение таковым, возьмите комплексное число z. Получите его квадрат и затем добавьте число. Введите в квадрат полученный результат и добавьте число. Повторяйте далее, и если число стремится к бесконечности, это не уравнение Мандельброта.
Фрактальные структуры были замечены во многих областях реального мира. Кровь разносится по кровеносным сосудам, ветвящимся дальше и дальше, ветви дерева, структура легких, графики данных о продаже акций, и другие системы раельного мира имеют нечто общее: они все обладают самопохожестью(самоповторением).
Ученые в Университете Санта Круз нашли проявления Хаоса в водопроводном кране[то, как он капает]. Записывая падение капель из крана и периоды времени, они открыли точную скорость потока, капли не падали в то же самое время. Когда они построили графики данных, они нашли, что на самом деле капли падают с определенной закономерностью.
Человеческое сердце тоже бьется с хаотической закономерностью. Время между ударами непостоянно, оно зависит от того, насколько активен человек в данный момент, и от многих других вещей. При постоянных условиях сердцебиение все равно может ускориться. При различных условиях сердце бьется неуправляемо. Это можно назвать хаотичным сердцебиением. Анализы сердцебиения могут помочь в медицинских исследованиях найти способ установить сердцебиение в определенных рамках, вместо неконтролируемой хаотичности.
Хаос имеет применение даже в науке. Компьютерные изображения становятся более реалистичными при применении Хаоса и фракталов. Сейчас с помощью простой формулы можно создать на компьютере красивое реалистично выглядещее дерево. Вместо того, чтобы следовать нормальной закономерности, ветки деревьев могут быть созданы по формуле, которая почти, но не точно повторяет себя.
Также с помощью фракталов может быть создана музыка. Используя аттрактор Лоренса, Диана С. Дэбби, выпускница по специальности электронной инженерии Массачусетского Института Технологий, создала музыкальные темы. («Bach to Chaos: Chaotic Variations on a Classical Theme», Science News, Dec. 24, 1994). Путем ассоциирования музыкальных нот фрагмента музыки из Прелюдии Баха в С с координатами х аттрактора Лоренса, запустив программу на компьютере, она создала вариации на тему данного произведения. Большинство музыкантов, слышавших эти новые звуки, говорили, что вариации очень музыкальны и креативны.
UPD: Благодарю ixside. «Chaotic Variations on a Classical Theme» доступны тут.Правка: перенесено в Научно-популярное.
Теория хаоса
Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.
Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием, эффект Коновала — распределение частот выпадения положительных результатов, или принятия правильных решений.
Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.
Содержание
Основные сведения
Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Существует также такая область физики, как теория квантового хаоса, изучающая недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики.
Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).
Понятие хаоса
Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).
Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.
Топологическое смешивание
Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.
Тонкости определения
Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.
Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.
Странные аттракторы
Простые хаотические системы
Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.
Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решетку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах Стивена Вольфрама. Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» является моделью тора, которую он продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.
Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Zhang и Heidel доказали, что трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям, и поэтому представляют собой стабильные решения.
Математическая теория
Теорема Шарковского — это основа доказательства Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным периодом цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических орбит. Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивное измерение аттрактора, экспоненты Ляпунова, графики рекуррентного соотношения, отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения и оператор сдвига.
Хронология
Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре. В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова.
Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Г. Биргхоф, A. Колмогоров, M. Каретник, Й. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме С. Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Г. Биргхофом, турбуленция и астрономические исследования в случае с А. Колмогоровым, радиотехника в случае с М. Каретником и Й. Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбуленцией в жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея достаточной теории чтобы это объяснить.
Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении — простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную непрактично. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.
Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.
К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа» в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях» доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.
Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.
Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года. В декабре 1977 Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году, Митчелл Феидженбом издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Феидженбом применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям. В 1979 Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах». Тогда же в 1986 Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х, например в изучении патологии сердечных циклов. В 1987 Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию. Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.
В тот же самый год Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.
Доступность более дешевых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время, теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).
Применение
Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.
Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы похожие на модель Рикера использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.
Различия между случайными и хаотическими данными
Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого ‘сигнала’ отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей. Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:
Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат) или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределенную погрешность.
По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции, экспоненты Ляпунова, и т.д.). Чтобы определить состояние системы обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения, поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.
Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её траектория постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности и система показывает полностью новые динамические свойства. Статистические испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами, в результате появляется динамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.