тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику такому движению соответствует зависимость
Нормальное и тангенциальное ускорение
Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.
Если тело движется по криволинейной траектории, то его скорость направлена по касательной к этой траектории.
Так как направление скорости все время меняется, значит, в таком случае криволинейное движение всегда происходит с ускорением, также, если модуль скорости не меняется.
В большинстве случаев ускорение направлено под некоторым углом к скорости. Составляющую ускорения, которая направлена вдоль скорости, называют тангенциальным ускорением 
. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю:
Нормальное ускорение 
– это составляющая ускорения, которая направлена к центру кривизны траектории, то есть она является нормалью (направлена перпендикулярно) к скорости. Нормальное ускорение описывает степень изменения скорости по направлению:
Здесь R – это радиус кривизны траектории в заданной точке.
Тангенциальное и нормальное ускорение всегда имеют перпендикулярное направление, откуда получаем модуль полного ускорения:
.
Общие сведения
Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.
В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).
Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:
Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.
Угловое ускорение
Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.
В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.
Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения. Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw. Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.
Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением. Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.
Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.
Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R. Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr. В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.
Вывод формулы
Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.
Исходя из графика, можно сделать два вывода:
Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.
Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.
Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:
Решение простых примеров
В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.
Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath. Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.
Сложная задача
Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.
Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.
Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).
Кинематика поступательного движения
Автомобиль движется с постоянной по модулю скоростью по траектории, представленной на рисунке. В какой из указанных точек траектории центростремительное ускорение максимально?
 |
#1 #2 #3 #Во всех точках одинаково
Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой. Нормальное ускорение по величине не изменяется. При этом величина скорости …
# уменьшается # увеличивается # не изменяется
Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина нормального ускорения …
# уменьшается # увеличивается # не изменяется
Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой. Нормальное ускорение по величине не изменяется. При этом величина скорости …
# уменьшается # увеличивается # не изменяется
Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой. Нормальное ускорение по величине не изменяется. При этом величина скорости …
# увеличивается # уменьшается # не изменяется
Точка М движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения…
# увеличивается # уменьшается # не изменяется
Точка М движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости отрицательна, то величина нормального ускорения…
# уменьшается # увеличивается # не изменяется
Материальная точка M движется по окружности со скоростью 
. На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( 
– единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t2.
Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( – единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t1.
Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( – единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t2.
Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( – единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t3.
Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( – единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t1.
Материальная точка M движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости Vτ от времени ( – единичный вектор положительного направления, Vτ – проекция на это направление). На рис. 2 укажите направление ускорения т.М в момент времени t3.
Если at и an – тангенциальная и нормальная составляющие ускорения, то для равномерного движения по окружности справедливы соотношения:
Если at и an – тангенциальная и нормальная составляющие ускорения, то соотношения: at = a = const, an = 0 справедливы для.
#прямолинейного равноускоренного движения #прямолинейного равномерного движения #равномерного криволинейного движения #равномерного движения по окружности
Если at и an – тангенциальная и нормальная составляющие ускорения, то соотношения: at = 0, an = const справедливы для.
#равномерного криволинейного движения #прямолинейного равноускоренного движения #прямолинейного равномерного движения #равномерного движения по окружности
Материальная точка М движется по окружности со скоростью 
. На рис. 1 показан график зависимости проекции скорости 
от времени ( 
– единичный вектор положительного направления, – проекция на это направление). При этом для нормального an и тангенциального at ускорения выполняются условия.
# 
– увеличивается, 
– постоянно # – постоянно, – увеличивается # – увеличивается, – увеличивается # – постоянно, – постоянно
Камень бросили под углом к горизонту соскоростью V0. Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет.
Модуль тангенциального ускорения at на участке А-В-С…
# увеличится # не изменяется # уменьшается
Автомобиль движется с постоянной по величине скоростью по траектории, представленной на рисунке. В какой из указанных точек траектории полное ускорение минимально?
| |
#1 #2 #3 #Во всех точках одинаково
Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту. Определите радиус кривизны его траектории в верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь. (g = 10 м/с 2 ).
#10 м #20 м #30 м #80 м
Графики зависимости величины тангенциального ускорения от времени для равномерного движения тела по окружности изображен на рисунке.
# 
# 
# 
# 
#равна нулю #меньше нуля #больше нуля
Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости проекции скорости от времени ( – единичный вектор положительного направления, – проекция на это направление). При этом для нормального an и тангенциального at ускорения выполняются условия.
# > 0; = 0 # = 0; 0; > 0 # > 0; aB # aA = aB = 0 # aA = aB ≠ 0.
Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. Определите радиус кривизны его траектории в верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь. (g = 10 м/с 2 ).
#10 м #20 м #30 м #80 м
Тело брошено под углом к горизонту и движется в поле силы тяжести Земли. На рисунке изображен восходящий участок траектории данного тела.
Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Определите радиус кривизны его траектории в верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь. (g = 10 м/с 2 ).
#10 м #20 м #30 м #80 м
Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику.
# 
# 
# 
# 
.