такое пространство называется плоскостью
Плоскость в пространстве – необходимые сведения
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Понятие плоскости и ее обозначения
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
В любой плоскости есть точки.
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:
Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.
Графически последнюю аксиому можно представить так:
Варианты взаимного расположения прямой и плоскости
Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:
Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.
Графически этот вариант расположения выглядит так:
Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.
Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.
Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:
Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.
Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.
Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга
1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.
2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:
Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.
На графике это будет выглядеть так:
В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.
3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.
Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.
Как задать плоскость в пространстве
В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.
1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.
Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:
2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:
3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:
4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.
На рисунке этот способ будет выглядеть так:
Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:
Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.
Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).
Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:
Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.
Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.
Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.
Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.
Плоскость в пространстве – необходимые сведения, способы задания плоскости, плоскости в пространстве
Определение плоскости
Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.
Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.
Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.
Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.
Обозначение плоскости
Конечно, нарисовать плоскость, у которой нет краев, невозможно. Поэтому, при изображении плоскости, рисуют только ее часть:
Обозначается плоскость строчными буквами греческого алфавита – α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.:
Буквы пишут либо рядом с плоскостью, либо на плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.
Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.
Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Параллельные плоскости
Теперь рассмотрим подробнее каждый из названных выше случаев. Предположим, что в общей форме заданы следующие две плоскости:
A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.
Как понять, являются ли они параллельными? Сделать это очень просто. Достаточно вспомнить о нормальных векторах. Если две плоскости параллельны между собой, значит, их нормали также параллельны. Выпишем координаты нормальных векторов к указанным плоскостям. Имеем:
Достаточным условием параллельности n1¯ и n2¯ является возможность задания одного из них через другой. Математически это записывается так:
Где k — некоторое (в том числе отрицательное) число. Если одну нормаль невозможно выразить путем умножения координат другой на число, то такие плоскости не будут параллельными.
Частным случаем параллельности плоскостей является их полное совпадение друг с другом. Тогда должны выполняться такие условия:
Пример параллельных плоскостей в пространстве приведен ниже.
Пересекающиеся плоскости и угол между ними
Поскольку существует всего два варианта взаимного расположения плоскостей, то достаточно проверить, являются ли они параллельными или нет. В случае их пересечения часто возникает необходимость в определении соответствующего угла. Согласно определению, углом между рассматриваемыми геометрическими объектами является угол между их нормалями.
Таким образом, изучая вопрос взаимного расположения плоскостей и угла между плоскостями, достаточно рассчитать скалярное произведение векторов n1¯ и n2¯. Соответствующая формула примет вид:
Угол между плоскостями θ всегда является острым, поскольку в числителе стоит модуль скалярного произведения.
Следует отметить частный случай, когда две плоскости пересекаются под углом 90o. Тогда достаточно вычислить скалярное произведение нормальных векторов. Оно будет равным нулю.
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.
Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.
Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.
Рис. 3. Расположение плоскостей.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат Охуz в трехмерном пространстве. Координатные векторы i→, j→, k→ считаются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Это суждение верно, так как i→, j→, k→ ненулевые и расположены на координатных прямых Ox, Oy и Oz. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy.
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат Охуz. Для определения нормального вектора n→=(A, B, C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0. То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2x-3y+7z-11=0.
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x+2z-7=0.
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x+2z-7=0 к виду 1·x+0·y+2z-7=0. Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1, 0, 2). Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.
Ответ: (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид xa+yb+zc=1, и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1a, 1b, 1c.
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
Плоскость
Всего получено оценок: 102.
Всего получено оценок: 102.
Плоскость – это основная единица планиметрии. Для правильного восприятия сложных фигур, таких как, пирамида, конус или призма, необходимо понимать и, главное, представлять себе, что такое плоскость.
Определение плоскости
Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.
Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.
Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.
Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.
Способы задания плоскостей
Плоскость может быть задана тремя точками, нележащими на одной прямой. Из этого утверждения следуют еще два варианта задания плоскостей. При этом специального знака плоскостей не существует.
Плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, тогда одной точкой будет служить точка пересечения прямых, а двумя другими произвольные точки на одной и второй прямой.
Еще один вид это задание прямой и точкой, нележащей на этой прямой. По аналогии со вторым вариантам: одна точка уже есть и не лежит на прямой, а две других это произвольные точки имеющейся линии.
Рис. 1. Способы задания плоскостей.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.
Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.
Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.
Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.
Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.
Рис. 3. Расположение плоскостей.
Что мы узнали?
Мы дали определение и привели примеры плоскости. Выделили варианты пересечения прямой и плоскости и пересечения плоскостей. Привели несколько признаков, относящихся с плоскостям и разобрали все случаи существования плоскостей в пространстве.
Плоскость в пространстве. Расположение плоскостей в пространстве
Плоскость является геометрическим объектом, свойства которого используют при построении проекций точек и линий, а также при вычислении расстояний и двугранных углов между элементами объемных фигур. Рассмотрим в данной статье, с помощью каких уравнений можно изучать расположение в пространстве плоскостей.
Определение плоскости
Общее уравнение
Вам будет интересно: Врасплох – это испуг или всего лишь беспокойство?
В пространственной геометрии плоскость описывают с помощью уравнений, которые в общем случае содержат три неизвестные координаты, соответствующие осям x, y и z. Чтобы получить общее уравнение в координатах плоскости в пространстве, предположим, что имеется вектор n¯(A; B; C) и точка M(x0; y0; z0). Используя эти два объекта, можно однозначно определить плоскость.
Действительно, предположим, что имеется некоторая вторая точка P(x; y; z), координаты которой неизвестны. Согласно данному выше определению, вектор MP¯ должен быть перпендикулярен n¯, то есть произведение скалярное для них равно нулю. Тогда мы вправе записать следующее выражение:
Вам будет интересно: Врасплох – это испуг или всего лишь беспокойство?
A*(x-x0) + B*(y-y0) + C*(z-z0) = 0
Раскрывая скобки и вводя новый коэффициент D, получаем выражение:
На рисунке выше показаны плоскость, нормальный к ней вектор и перпендикулярная прямая к плоскости.
Отсекаемые плоскостью отрезки на осях и соответствующее уравнение
Общее уравнение позволяет с помощью простых математических операций определить, в каких точках плоскость будет пересекать координатные оси. Эту информацию важно знать, чтобы иметь представление о положении в пространстве плоскости, а также при изображении ее на чертежах.
Вам будет интересно: Гиалуроновая кислота: формула, состав, свойства, влияние на организм и применение
Для определения названных точек пересечения применяют уравнение в отрезках. Оно так называется по причине того, что явно содержит значения длин отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат, при ведении отсчета от точки (0; 0; 0). Получим это уравнение.
Запишем общее выражение для плоскости в следующем виде:
A/(-D)*x + B/(-D)*y + C/(-D)*z = 1 или
Обозначим знаменатели каждого члена новым символом, получаем:
Это и есть упомянутое выше в отрезках уравнение. Из него следует, что значение знаменателя каждого члена указывает координату пересечения с соответствующей осью плоскости. Например, ось y она пересекает в точке (0; q; 0). Это легко понять, если подставить нулевые координаты x и z в уравнение.
Заметим, что если в уравнении в отрезках не будет присутствовать какой-либо переменной, то это означает, что соответствующую ось плоскость не пересекает. Например, дано выражение:
Это означает, что плоскость отсечет отрезки p и q на осях x и y соответственно, а вот оси z она будет параллельна.
Вывод о поведении плоскости при отсутствии в ее уравнении некоторой переменной справедлив также для выражения общего типа, что демонстрирует рисунок ниже.
Уравнение параметрическое векторное
Существует третий вид уравнения, который позволяет описать в пространстве плоскости. Оно называется параметрическим векторным, поскольку задается двумя векторами, лежащими в плоскости, и двумя параметрами, которые могут принимать произвольные независимые значения. Покажем, как можно получить это уравнение.
Предположим, что существует пара известных векторов u ¯(a1; b1; c1) и v¯(a2; b2; c2). Если они являются не параллельными, то с их помощью можно задать конкретную плоскость, если зафиксировать начало одного из этих векторов в известной точке M(x0; y0; z0). Если произвольный вектор MP¯ можно представить в виде комбинации линейной векторов u¯ и v¯, то это означает, что точка P(x; y; z) принадлежит той же плоскости, что и u¯, v¯. Таким образом, можно записать равенство:
Или записывая это равенство через координаты, получим:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a1; b1; c1) + β*(a2; b2; c2)
Представленное равенство является уравнением параметрическим векторным для плоскости. В пространстве вектора на плоскости u¯ и v¯ называются образующими.
Далее при решении задачи будет показано, как это уравнение можно привести к общему виду для плоскости.
Угол между плоскостями в пространстве
Интуитивно понятно, что плоскости в трехмерном пространстве могут либо пересекаться, либо нет. В первом случае представляет интерес найти угол между ними. Расчет этого угла выполнить сложнее, чем угла между прямыми, поскольку речь идет о двугранном геометрическом объекте. Однако на помощь приходит уже упомянутый вектор направляющий для плоскости.
Геометрически установлено, что двугранный угол между двумя пересекающимися плоскостями точно равен углу между их векторами направляющими. Обозначим эти вектора как n1¯(a1; b1; c1) и n2¯(a2; b2; c2). Косинус угла между ними определяется из скалярного произведения. То есть сам угол в пространстве между плоскостями можно рассчитать по формуле:
Здесь модуль в знаменателе используется, чтобы отбросить значение тупого угла (между пересекающимися плоскостями он всегда меньше или равен 90o).
В координатной форме это выражение можно переписать следующим образом:
φ = arccos(|a1*a2 + b1*b2 + c1*c2|/(√(a12 + b12 + c12)*√(a22 + b22 + c22)))
Плоскости перпендикулярные и параллельные
Если плоскости пересекаются, и образованный ими двугранный угол равен 90o, то они будут перпендикулярными. Примером таких плоскостей можно назвать прямоугольную призму или куб. Эти фигуры образованы шестью плоскостями. В каждой вершине названных фигур встречаются три плоскости, перпендикулярные друг другу.
Чтобы выяснить, являются ли рассматриваемые плоскости перпендикулярными, достаточно рассчитать скалярное произведение их нормальных векторов. Достаточным условием перпендикулярности в пространстве плоскостей является нулевое значение этого произведения.
Параллельными называются непересекающиеся плоскости. Иногда также говорят, что параллельные плоскости пересекаются в бесконечности. Условие параллельности в пространстве плоскостей совпадает с таковым условием для направляющих векторов n1¯ и n2¯. Проверить его можно двумя способами:
На рисунке показаны две параллельных плоскости.
Теперь приведем примеры решения двух интересных задач, используя полученные математические знания.
Как из векторного уравнения получить общий вид?
Речь идет о параметрическом векторном выражении для плоскости. Чтобы легче было понять ход операций и используемые математические приемы, рассмотрим конкретный пример:
Раскроем это выражения и выразим неизвестные параметры:
Раскрывая скобки в последнем выражении, получаем:
Мы получили общий вид уравнения для плоскости, заданной в условии задачи в векторной форме
Как построить плоскость через три точки?
Провести через три точки единственную плоскость возможно, если эти точки не принадлежат некоторой одной прямой. Алгоритм решения этой задачи заключается в следующей последовательности действий:
Приведем конкретный пример. Даны точки:
Координаты двух векторов равны:
Их векторное произведение будет равно:
Взяв координаты точки R, получаем искомое уравнение:
Рекомендуется проверять правильность результата путем подстановки координат оставшихся двух точек в это выражение:
Отметим, что можно было не находить векторное произведение, а сразу записать для плоскости уравнение в параметрическом векторном виде.