такая характеристика случайных величин как является числовой
Числовые характеристики случайных величин
Перечислим основные характеристики случайных величин:
— математическое ожидание (характеризует среднее значение);
— дисперсия;
— среднеквадратическое отклонение;
— медиана случайной величины;
— мода случайной величины;
— начальный момент;
— центральный момент;
— аcсимметрия;
— эксцесс;
— квантиль уровня.
Медиана случайной величины — это такое значение случайной величины X, при котором X=Me и Me разделяет область значений на две части, вероятности попадания в любую из данных областей равновероятны, то есть выполняется условие:
p(X Me)
F(Me)=0.5
Модой для дискретной случайной величины называют такое значение, которое наиболее вероятно.
Модой для непрерывной случайной величины называют наибольшее значение (точка локального максимума) плотности вероятности.
Мода и медиана на графике
Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Х k и определяется равенством:
Формула начального момента для непрерывной случайной величины:
Формула начального момента для дискретной случайной величины:
Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины (X-M(Х)) k и определяется равенством:
Формула центрального момента для непрерывной случайной величины:
Формула центрального момента для дискретной случайной величины: 
Центральный момент первого порядка случайной величины X равен нулю, то есть
Центральный момент второго порядка случайной величины X равен дисперсии, то есть
Центральный момент третьего порядка случайной величины X характеризует асимметрию и определяется равенством:
Центральный момент четвёртого порядка случайной величины X характеризует эксцесс и равен:
Асимметрия характеризует меру сдвига распределения случайной величины в левую или правую часть и находится по формуле: 
Эксцесс — характеристика вогнутости и выпуклости распределения случайной величины и вычисляется по формуле:
График значений коэффициента эксцесса
Квантилем уровня p называют такое значение случайной величины xp которое удовлетворяет условие:
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 10
Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.
2 комментария
ошибка в формуле второго центрального момента
Спасибо большое! Исправили индекс в формуле второго центрального момента.
Содержание:
Числовые характеристики случайных величин:
Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.
Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины
Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: 
Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся 
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Пример:
Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим 
Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.
Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).
Дисперсия случайной величины
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Рассмотрим свойства дисперсии.
Пример №1
Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства дисперсии, находим 
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину
Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии: 
Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.
Мода и медиана. Квантили
Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.
Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого 
т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.
Пример №2
Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности 
Решение:
Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия 
или 
откуда 
Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.
Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е. 
Пример №3
По данным примера 5.3 найти квантиль 
Решение:
Находим функцию распределения 
Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.
Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: 
Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:
Для непрерывной случайной величины: 
Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание
при k = 2 второй центральный момент – дисперсия 
Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.
Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на 
, где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: 
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.
На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Такая характеристика случайных величин как является числовой
1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.
2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.
1. Виды случайных величин.
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
3. Функция распределения вероятностей случайной величины.
4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
5. Математическое ожидание.
6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
1. Виды случайных величин.
Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.
По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).
Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…
Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины— это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.
При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности.
Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».
Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятность того, что «герб» не появится (0 раз).
Найдем вероятность того, что «герб» появится 1 раз.
Найдем вероятность того, что «герб» появится 2 раза.
Найдем вероятность того, что «герб» появится 3 раза.
Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.
Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно.
3. Функция распределения вероятностей случайной величины.
Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.
Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x ) P ( X x ).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F ( x ) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».
Свойства функции распределения:
Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).
Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:
Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).
4. При возрастании значения х в интервале ( a ; b ), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство).
5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).
Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:
Найдите функцию распределения и постройте ее график.
Итак, функция распределения имеет следующий вид:
4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ).
Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.
Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Свойства плотности распределения вероятностей:
Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0.
Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.
5. Математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.
Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.
Случайная величина и ее основные характеристики.
Основные определения и понятия
Расширением понятия случайных событий, состоящих в появлении некоторых числовых значений в результате эксперимента, является случайная величина Х.
Определение. Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно.
Как и результат отдельного эксперимента, точное значение случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин.
Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные и величины непрерывные.
Определение. Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений.
Всевозможные 
значений случайной величины образуют полную группу событий, т.е. 
, где — конечное или бесконечное. Поэтому можно говорить, что случайная величина обобщает понятие случайного события.
Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили (Таблица 7.1):
Определение. Распределение данных по возрастанию называется ранжированием.
Определение. Наблюдаемое значение некоторого признака случайной величины называется вариантом.
Определение. Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом.
Определение. Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным.
Определение. Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается 
.
Определение. Вероятность появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда
 | ( 1) |
С учетом введенных определений перепишем таблицу 7.1.
| Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Частота | 3 | 4 | 3 | 3 | 6 | 1 |
| Вероятность | 3/20 | 4/20 | 3/20 | 3/20 | 6/20 | 1/20 |
При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. В таблице 7.3 приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение при обработке экспериментальных данных.
, для которого 
наиболь-шее
Если 
-го порядка 
