Прямоугольник и цилиндр расположены таким образом что ав диаметр верхнего
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен
а) Пусть сторона CD прямоугольника касается окружности нижнего основания в точке K,O1 — центр нижнего основания, а O — центр верхнего. Тогда O1O — перпендикуляр к плоскости основания, отрезок O1K перпендикулярен отрезку CD и по теореме о трех перпендикулярах отрезок OK перпендикулярен CD. Поэтому K — середина CD. Тогда упомянутый угол наклона — угол OKO1 = 60° и где r — радиус цилиндра. При этом поэтому значит, ABCD — квадрат.
б) Пусть отрезок BD пересекает поверхность цилиндра в точке T; E и F — проекции точек D и T соответственно на плоскость верхнего основания.
Тогда FT лежит на образующей, и поэтому отрезок FT параллелен отрезку DE. Значит, Поскольку как угол, опирающийся на диаметр, Поэтому и т. е.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Прямоугольник и цилиндр расположены таким образом что ав диаметр верхнего
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен
а) Пусть сторона CD прямоугольника касается окружности нижнего основания в точке K,O1 — центр нижнего основания, а O — центр верхнего. Тогда O1O — перпендикуляр к плоскости основания, отрезок O1K перпендикулярен отрезку CD и по теореме о трех перпендикулярах отрезок OK перпендикулярен CD. Поэтому K — середина CD. Тогда упомянутый угол наклона — угол OKO1 = 60° и где r — радиус цилиндра. При этом поэтому значит, ABCD — квадрат.
б) Пусть отрезок BD пересекает поверхность цилиндра в точке T; E и F — проекции точек D и T соответственно на плоскость верхнего основания.
Тогда FT лежит на образующей, и поэтому отрезок FT параллелен отрезку DE. Значит, Поскольку как угол, опирающийся на диаметр, Поэтому и т. е.
Прямоугольник и цилиндр расположены таким образом что ав диаметр верхнего
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен
а) Пусть сторона CD прямоугольника касается окружности нижнего основания в точке K,O1 — центр нижнего основания, а O — центр верхнего. Тогда O1O — перпендикуляр к плоскости основания, отрезок O1K перпендикулярен отрезку CD и по теореме о трех перпендикулярах отрезок OK перпендикулярен CD. Поэтому K — середина CD. Тогда упомянутый угол наклона — угол OKO1 = 60° и где r — радиус цилиндра. При этом поэтому значит, ABCD — квадрат.
б) Пусть отрезок BD пересекает поверхность цилиндра в точке T; E и F — проекции точек D и T соответственно на плоскость верхнего основания.
Тогда FT лежит на образующей, и поэтому отрезок FT параллелен отрезку DE. Значит, Поскольку как угол, опирающийся на диаметр, Поэтому и т. е.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Прямоугольник и цилиндр расположены таким образом что ав диаметр верхнего
AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.
а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.
б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.
а) Рассмотрим — проекцию AB на плоскость верхнего основания. Тогда поэтому точки служат вершинами вписанной трапеции. Но такая трапеция обязательно равнобедренная, поэтому ее боковые стороны и диагонали равны, то есть Обозначая за h высоту цилиндра, имеем
б) Будем считать, что точки лежат именно в таком порядке (иначе переименуем точки C и D). Опустим перпендикуляр OH на CD. Заметим, что поэтому Обозначая за центр нижнего основания цилиндра, находим — высота трапеции ACDB.
Опустим перпендикуляр из O на Он будет также перпендикулярен CD (поскольку то и плоскость в которой он лежит, перпендикулярна CD).
Значит, это и будет высота пирамиды. Теперь считаем
Прямоугольник и цилиндр расположены таким образом что ав диаметр верхнего
В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре CC1 взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC.
a) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки A, B и M.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2,
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2,
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что
а) Докажите, что угол между прямыми и BC равен
б) Найдите объём цилиндра.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки а на окружности другого основания — точка причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что
а) Докажите,что угол между прямыми и BC равен
б) Найдите объём цилиндра.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а AC1 пересекает его ось цилиндра.
б) Найдите площадь боковой поверхности, если AB = 16, BB1 = 5, B1C1 = 12.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 15, BB1 = 21, B1C1 = 20.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1 причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что
а) Докажите, что угол между прямыми BC и AC1 равен
б) Найдите расстояние от точки B до AC1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямой круговой цилиндр высотой 3 и радиусом 8. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В конусе с вершиной S и центром основания O радиус основания равен 13, а высота равна Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
а) Докажите что ANO — прямой угол.
б) Найдите угол между MB и плоскостью основания, если дополнительно известно что AB = 10.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 6, BC = 8 и AS =
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 4, BC = 6 и AS =
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково удаленная ото всех вершин пирамиды.
б) Найдите радиус данной сферы, если дополнительно известно, что основания трапеции равны 8 и 18, а ее боковая сторона равна 13.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна Точка M — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.
а) Докажите что — прямой.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB = 8.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный.
б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2 цилиндра (точка О1 — центр верхнего основания, точка О2 — центр нижнего основания). Объем цилиндра равен 21π, а объем пирамиды
б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 6, BC = 8 и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 4, BC = 6 и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.
а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.
б) Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный
б) Найдите расстояние от центра O основания конуса до плоскости сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
где r — радиус цилиндра. При этом 
поэтому 
значит, ABCD — квадрат.
Поскольку 
как угол, опирающийся на диаметр, 
Поэтому и 
т. е. 
— проекцию AB на плоскость верхнего основания. Тогда 
поэтому точки 
служат вершинами вписанной трапеции. Но такая трапеция обязательно равнобедренная, поэтому ее боковые стороны и диагонали равны, то есть 
Обозначая за h высоту цилиндра, имеем
лежат именно в таком порядке (иначе переименуем точки C и D). Опустим перпендикуляр OH на CD. Заметим, что 
поэтому 
Обозначая за 
центр нижнего основания цилиндра, находим 
— высота трапеции ACDB.
Он будет также перпендикулярен CD (поскольку 
то и плоскость 
в которой он лежит, перпендикулярна CD).
Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.
Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
и BC равен 
а на окружности другого основания — точка 
причём 
— образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что 
Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
Точка M — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.
— прямой.
Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.