ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ комплСксной плоскости, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… выполняСтся условиС ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ чисСл, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… этому равСнству, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ число с наимСньшим ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ комплСксных чисСл z, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ число с наимСньшим ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ чисСл z, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ числа с наимСньшим ΠΈ наибольшим ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

НайдитС наибольший ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа z, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

О комплСксном числС z извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ° ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zНайдитС всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС числа z ΠΈ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого модуля?

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ M β€” мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zкомплСксной плоскости Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zK β€” мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zкомплСксной плоскости Π²ΠΈΠ΄Π° ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ³Π΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zНайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ M ΠΈ K.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ комплСксной плоскости опрСдСляСтся условиСм ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… измСняСтся ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ K состоит ΠΈΠ· всСх комплСксных чисСл z, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zНайдитС всС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ числа ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΡ‡Ρ‚ΠΎ для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠΈ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠΈΠ· K ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

НайдитС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число z, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zминимальна.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Из всСх чисСл z, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠ½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° комплСксной плоскости всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ z, Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… числам ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zΠΈ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ zявляСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ доступна для Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

Π’Π°ΠΊ слоТилось Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… чисСл нСсколько Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ. Число ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅, Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ нСслоТных дСйствий Π² ΠΎΠ±Π΅ стороны.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ с алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° являСтся ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ понятно Π² этой ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ комплСксноС число Π½Π° плоскости:

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… комплСксных чисСл:

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ слоТСниС. Для этого просуммируСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ вСщСствСнныС части комплСксных чисСл:

Аналогично Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ чисСл:

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл:

Π’Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅:

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ дСлСния Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ комплСксного числа Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° комплСксно-сопряТСнноС число ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ раскрываСм всС скобки:

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° 29, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹:

Для возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ достаточно ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число само Π½Π° сСбя:

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для умноТСния, раскрываСм скобки ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅:

Π’ этом случаС Π½Π΅ всё Ρ‚Π°ΠΊ просто ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ способу ΠΎΠ·Π²ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число само Π½Π° сСбя 7 Ρ€Π°Π·, Π½ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π“ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°. Но ΠΎΠ½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ с числами Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π° число Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π² алгСбраичСской. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ.

ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля:

НайдСм Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

ЗаписываСм Π² тригономСтричСском Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ для наглядности:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ число Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. НайдСм ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π° для вычислСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ любой стСпСни:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ комплСксныС числа

ВсС Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня Π² блиТайшиС Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ. НапримСр, прСдлагаСтся Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа». Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅?

НачнСм с Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстных Π²Π°ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ².

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ возвСсти число Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ само Π½Π° сСбя.

Если ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Число 2 Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ арифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· 4, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

А ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ число возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ получился ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ? И Ссли Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ?

Π’Π΅Π΄ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ Ρ…ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…. Баланс мобильного Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π’Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° +5 градусов ЦСльсия, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ минус 5 градусов. На числовой оси ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа располоТСны симмСтрично. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· нуля Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ), Π° ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСльзя?

И называСтся это число ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, Π° обозначаСтся Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ

Π’ΠΎΡ‚ какая нСобычная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ: i ΠΈ минус i.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… дискриминант ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½.

Числа Π²ΠΈΠ΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными. ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ… называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ комплСксного числа z, Π° Ρƒ β€” Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.

ЗаписываСтся это Ρ‚Π°ΠΊ:

БокращСния понятны Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΡ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ английский: Re β€” Real, Im β€” Imaginary.

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ числа?

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для счСта ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ². ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл обозначаСтся N.

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ€/q, Π³Π΄Π΅ Ρ€ β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, q β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. НапримСр, β€” числа Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ срСднСй школС. Если Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСриодичСской, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл обозначаСтся Q ΠΈ содСрТит Π² сСбС мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎΠ± ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π˜Ρ… Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π° Ссли Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной β€” ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсконСчной нСпСриодичСской. И казалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ числах всё. ВсС числа, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°ΠΌ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ, Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ Π² мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл R.

Когда ΠΌΡ‹ пишСм: β€” это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° числовой прямой, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ R β€” это подмноТСство мноТСства комплСксных чисСл Π‘.

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ «вСщСствСнными». Они ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ наш вСщСствСнный ΠΌΠΈΡ€. Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа примСняСм для счСта ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ². Π‘ дробями Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ понятно: ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΊΠ° яблока ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΈΡ†Ρ†Ρ‹. Π‘ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами всС Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹: достаточно Π·ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° градусник Π·Π° ΠΎΠΊΠ½ΠΎΠΌ. И Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Β«ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒΒ»: Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности радиуса 1 ΠΈΠ»ΠΈ диагональ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной 1 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.

Но Π³Π΄Π΅ ΠΆΠ΅ Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ комплСксныС числа? НСуТСли ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ для описания Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°ΠΌ?

КомплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π“Π΄Π΅ ΠΆΠ΅ находятся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа, Ссли Π½Π° числовой прямой для Π½ΠΈΡ… мСста Π½Π΅Ρ‚?

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто. ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа β€” Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси. А комплСксныС числа Π²ΠΈΠ΄Π° β€” Π½Π° комплСксной плоскости.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ комплСксному число соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° комплСксной плоскости.

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

РасстояниС ΠΎΡ‚ нуля Π΄ΠΎ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ называСтся ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ комплСксного числа:

Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси называСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ комплСксного числа:

АргумСнт комплСксного числа ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ

Аналогично Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ: каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности соотвСтствуСт бСсконСчному мноТСству ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π½Π° Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.

β€” Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

Иногда Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° комплСксного числа ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

КомплСксноС число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² тригономСтричСской.

Π­Ρ‚ΠΎ тригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи комплСксного числа.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи ΠΊ тригономСтричСской считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ значСния

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² записи число Ρ… β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ число

Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, для освоСния Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа» Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ.

ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

Π”Π²Π° комплСксных числа Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ссли Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа нСльзя. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ «большС» ΠΈ «мСньшС» для комплСксных чисСл Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹.

Π”Π²Π° комплСксных числа, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксно-сопряТСнными. Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅:

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° комплСксных числа:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ для Π½ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ вычитания.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ мСняСтся (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ выполняСтся Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство:

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ нСравСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:

β€” расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, какая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π½Π° комплСксной плоскости являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ. РасстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ z Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2i Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ радиусом 1.

Если слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл вопросов Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ для умноТСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° произвСдСния комплСксных чисСл:

НапримСр, подставив Π² эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ равСнство:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ свойствами, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…:

Но Ссли ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ слоТно β€” Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ? ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ, записывая числа Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ:

ПослСднСС равСнство называСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл опрСдСляСм ΠΊΠ°ΠΊ дСйствиС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ? ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Намного ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл, записав ΠΈΡ… Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, для любого Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Записав число z Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ β€” для корня n-Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ корня.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π•Π“Π­-2022, ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

РСшим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΈΠ· Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Π•Π“Π­ β€” 2022 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа».

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

НайдитС наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

1 способ.

Расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ числу z, Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π° комплСксной плоскости. Π Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° сСрСдинном пСрпСндикулярС ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΈ По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами β€” Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ расстояниС ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΄ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой.

ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΎ комплСксноС число z извСстно Ρ‡Ρ‚ΠΎ z

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Н соотвСтствуСт комплСксному числу z, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π½Π° прямой, всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом расстояниС ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ z β€” наимСньшСС. НайдСм это расстояниС (Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ОН) ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠžΠ’. Π•Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 4, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 5. Записав ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠžΠ’ двумя способами, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

2 способ.

ВСрнСмся ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ВозвСдя это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ссли Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл ΠΈ Ρ‚ΠΎ

ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния

Π•Ρ‰Π΅ нСсколько Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа»:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ числа:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( β€˜

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ комплСксных чисСл.
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ частноС комплСксных чисСл.
Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ n-ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа.
ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ комплСксных чисСл Π½Π΅ просто Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с пояснСниями, Ρ‚.Π΅. ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ процСсс нахоТдСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Данная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° учащимся ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классов ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… школ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ экзамСнам, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π•Π“Π­, родитСлям для контроля Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅. А ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ слишком Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎ Π½Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ? Или Π²Ρ‹ просто Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ быстрСС ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ домашнСС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅? Π’ этом случаС Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ нашими ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ своё собствСнноС ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ своих ΠΌΠ»Π°Π΄ΡˆΠΈΡ… Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΠ΅Π² ΠΈΠ»ΠΈ сСстёр, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ образования Π² области Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Числа Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅.
ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ, Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° дСсятичных Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
ЦСлая ΠΈ дробная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² дСсятичных дробях ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ запятой.
НапримСр, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ + i

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
Π’ качСствС числитСля, знамСнатСля ΠΈ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

НСмного Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ комплСксного числа

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π° \(Π° + bi\) Π³Π΄Π΅ \(a\) ΠΈ \(a\) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° \(i\) β€” Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ символ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ выполняСтся равСнство \( i^2=-1 \).

НазваниС «комплСксныС» происходит ΠΎΡ‚ слова «составныС» β€” ΠΏΠΎ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ выраТСния \(Π° + bi\). Число \(Π°\) называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ комплСксного числа \(Π° + bi\), Π° число \(b\) β€” Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ. Число \(i\) называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
НапримСр, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа \(2-3i\) Ρ€Π°Π²Π½Π° \(2\), мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° \(-3\).
Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ комплСксного числа Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ \(Π° + bi\) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ комплСксного числа.

РавСнство комплСксных чисСл

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π”Π²Π° комплСксных числа \(a + bi\) ΠΈ \(c + di\) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(a =c\) ΠΈ \(b =d\), Ρ‚. Π΅. ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл \(a+ bi\) ΠΈ \(c + di\) называСтся комплСксноС число \( (a+c) + (b+d)i \), Ρ‚.Π΅. \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \).

Из Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ дСйствий с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, считая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \( i^2=-1 \).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства слоТСния ΠΈ умноТСния комплСксных чисСл

1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

КомплСксно сопряТСнныС числа

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \( \overline = a+bi \), поэтому для любого комплСксного числа \(z\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто равСнство
\( \overline<(\overline)> = z \)
РавСнство \( \overline = z \) справСдливо Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(z\) β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ комплСксного числа \(z = a + bi\) называСтся число \( \sqrt \), Ρ‚.Π΅.
\( |z|=|a+bi| = \sqrt \)

Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплСксного числа \(z\), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ \(|z|=0\) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(z=0\), Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(a=0\) ΠΈ \(b=0\).

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл вводится ΠΊΠ°ΠΊ опСрация, обратная слоТСнию: для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… комплСксных чисСл \(z_1\) ΠΈ \(z_2\) сущСствуСт, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, число \(z\), Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
\( z + z_2 = z_1 \),
Ρ‚.Π΅. это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл вводится ΠΊΠ°ΠΊ опСрация, обратная ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ: для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… комплСксных чисСл \( z_1 \) ΠΈ \( z_2 \neq 0 \) сущСствуСт, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, число \( z \), Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \( z \cdot z_2=z_1 \) Ρ‚.Π΅. это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ z ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся частным чисСл \( z_1 \) ΠΈ \( z_2 \) ΠΈ обозначаСтся \( z_1:z_2 \), ΠΈΠ»ΠΈ \( \frac \), Ρ‚.Π΅. \( z=z_1:z_2 = \frac \)

КомплСксноС число нСльзя Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль.

ЧастноС комплСксных чисСл \( z_1 \) ΠΈ \( z_2 \neq 0 \) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
$$ \frac = \frac> <|z_2|^2>$$

ГСомСтричСская интСрпрСтация комплСксного числа.
КомплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа гСомСтричСски ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ числовой прямой. КомплСксноС число \(a + bi\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл \((a; b)\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ СстСствСнно комплСксныС числа ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ плоскости.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° плоскости Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. КомплСксноС число \(z = a + bi\) изобраТаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ плоскости с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ \((a; b)\), ΠΈ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° обозначаСтся Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ \(z\).

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(z\) ΠΈ \(-z\) симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(O\) (Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \( z \) ΠΈ \( \overline \) симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

КомплСксноС число \(z = a+bi\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(O\) ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(z\). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ \(z\), Π΄Π»ΠΈΠ½Π° этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° \(|z|\).

ГСомСтричСский смысл модуля комплСксного числа

Выясним гСомСтричСский смысл модуля комплСксного числа \(|z|\). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(z = a+bi\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ модуля \( |z|= \sqrt \). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(|z|\) β€” расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(O\) Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(z\).

НапримСр, равСнство \(|z| = 4\) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(O\) Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(z\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(4\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ \(z\), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… равСнству \(|z| = 4\), являСтся ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(O\) радиуса \(4\). Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(|z| = R\) являСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(O\) радиуса \(R\), Π³Π΄Π΅ \(R\) β€” Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

ГСомСтричСский смысл модуля разности комплСксных чисСл

Выясним гСомСтричСский смысл модуля разности Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл, Ρ‚.Π΅. \( |z_1-z_2| \).
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \( z_1 = a_1+b_1i, \; z_2 = a_2+b_2i \)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = \sqrt <(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2>\)

Из курса Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ \( (a_1;b_1) \) ΠΈ \( (a_2;b_2) \).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, \( |z_1-z_2| \) β€” расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \( z_1 \) ΠΈ \( z_2 \).

ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа. АргумСнт комплСксного числа

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
АргумСнт комплСксного числа \( z \neq 0 \) β€” это ΡƒΠ³ΠΎΠ» \( \varphi \) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ \(Oz\). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» считаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли отсчСт вСдСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ отсчСтС ΠΏΠΎ часовой стрСлкС.

Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частями комплСксного числа \(z = a + bi\), Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \(r=|z|\) ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ \( \varphi \) выраТаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ:
\( \left\< \begin a=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end \qquad (1) \right. \)

АргумСнт комплСксного числа \(z = a+bi\) ( \( z \neq 0 \) ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² систСму (2). Π­Ρ‚Π° систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), Π³Π΄Π΅ \( k\in\mathbb , \;\; \varphi_0 \) β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы (1), Ρ‚.Π΅. Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ комплСксного числа опрСдСляСтся Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ.

Для нахоТдСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° комплСксного числа \(z = a+bi\) ( \( z\neq 0 \) ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ
\( tg \varphi = \large \frac \normalsize \qquad (3) \)

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния (3) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ находится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(z = a+bi\).

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ комплСксного числа Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл, записанных Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи комплСксных чисСл ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ частноС комплСксных чисСл \(z_1\) ΠΈ \(z_2\). Если Π΄Π²Π° комплСксных числа записаны Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ :
\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих комплСксных чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ комплСксных чисСл ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.

Из этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ частного Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π΅Π½ частному ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ дСлитСля, Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ дСлитСля являСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ частного.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *