ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ГармоничСскиС колСбания

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

9 класс, 11 класс, Π•Π“Π­/ΠžΠ“Π­

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ находится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ Ρƒ мСтодистов Skysmart.
Если Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, сообщитС ΠΎΠ± этом Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‡Π°Ρ‚
(Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ экрана).

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания β€” это физичСскиС процСссы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

КолСбания дСлятся Π½Π° Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π°: свободныС ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅.

Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ колСбания

Π­Ρ‚ΠΎ колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ происходят ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил Π² ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС.

Они всСгда Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСсь запас энСргии, сообщСнный Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ сил трСния ΠΈ сопротивлСния срСды (Π² этом случаС мСханичСская энСргия ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π²ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ). Из-Π·Π° этого свободныС колСбания ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ практичСского примСнСния.

Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания

А Π²ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ запас энСргии внСшним воздСйствиСм. Если это происходит ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ колСбания Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚.

Частота, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ эта сила воздСйствуСт, Ρ€Π°Π²Π½Π° частотС, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ систСма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

НапримСр, ΠΊΠ°Ρ‡Π΅Π»ΠΈ. Если вас ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· давая Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ всС Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ссли вас Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°ΡΠΊΠ°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° (ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ΅) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

АвтоколСбания

Иногда Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ колСбанию Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ внСшнСго воздСйствия, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ. Π‘Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ систСмы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… это внСшниС воздСйствиС Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ само ΠΈΠ·-Π·Π° способности Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ поступлСниС энСргии ΠΎΡ‚ постоянного источника.

Π£ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…:

Часы с ΠΊΡƒΠΊΡƒΡˆΠΊΠΎΠΉ β€” ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы. Гиря Π½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ΅) стрСмится Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π·ΡƒΠ±Ρ‡Π°Ρ‚ΠΎΠ΅ колСсо (Ρ…Ρ€Π°ΠΏΠΎΠ²ΠΈΠΊ). ΠŸΡ€ΠΈ колСбаниях маятника Π°Π½ΠΊΠ΅Ρ€ цСпляСт Π·Π° Π·ΡƒΠ±Π΅Ρ†, ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ приостанавливаСтся.

Но Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ маятник ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΠΈ энСргии ΠΈΠ·-Π·Π° трСния. ΠŸΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Π³ΠΈΡ€ΠΈ, которая постСпСнно опускаСтся, расходуСтся Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π₯арактСристики ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ гармоничСским колСбаниям, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ эти колСбания ΠΎΡ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ характСризуСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ: ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, частота, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

T = t/N

N β€” количСство ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ [-]

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρƒ β€” частота. Она ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ систСма Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° частоты

Ξ½ = N/t = 1/T

N β€” количСство ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ [-]

Она ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ГармоничСскиС колСбания

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса β€” простыС гармоничСскиС колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

x β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t [ΠΌ]

t β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ [с]

2πνtΠ² этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ β€” это Ρ„Π°Π·Π°. Π•Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ грСчСской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ο†

Π€Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

t β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ [с]

НапримСр, Π² Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ самых часах с ΠΊΡƒΠΊΡƒΡˆΠΊΠΎΠΉ маятник ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ колСбания. Он качаСтся слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„Π°Π·Π΅ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, идя справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ. Если ΠΌΡ‹ возьмСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° сантимСтр Π»Π΅Π²Π΅Π΅ самой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ идя Π² Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Π° справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ„Π°Π·Ρƒ.

На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ полоТСния Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ освСщСнии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠΌΠΈ пСриодичСскими Π²ΡΠΏΡ‹ΡˆΠΊΠ°ΠΌΠΈ свСта (стробоскопичСскоС освСщСниС). Π‘Ρ‚Ρ€Π΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Если ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„Π°Π·Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ колСбания, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ измСнятся.

На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²ΠΎ всСх Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… случаях для синих ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π² послСднСм (с) β€” красная кривая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„Π°Π·Ρƒ.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС (b) красная кривая отличаСтся ΠΎΡ‚ синСй Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° β€” Ρƒ красной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° мСньшС.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник β€” ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Если ΠΌΡ‹ подвСсим ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊ Π½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ, Ρ‚ΠΎ это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ матСматичСским маятником β€” ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ физичСский.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ этот маятник станСт, Ссли Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ (Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° этими Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ), растяТСниС Π½ΠΈΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Π° масса Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π· мСньшС массы ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ маятником называСтся систСма, которая состоит ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ массой m ΠΈ нСвСсомой нСрастяТимой Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ l, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° подвСшСна, ΠΈ которая находится Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ силы тяТСсти (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сил).

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ силы тяТСсти Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° колСбания матСматичСского маятника

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

g β€” ускорСниС свободного падСния [ΠΌ/с^2]

На ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅ ЗСмля g = 9,8 ΠΌ/с2

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник β€” это Π³Ρ€ΡƒΠ·, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, массой ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ.

Π’ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ маятникС колСбания ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы упругости.
Пока ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π° Π½Π΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°, сила упругости Π½Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π΅ дСйствуСт.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

m β€” масса маятника [ΠΊΠ³]

k β€” ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ [Н/ΠΌ]

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния энСргии для гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° β€” такая клСвая Π½Π°ΡƒΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ исчСзаСт бСсслСдно ΠΈ Π½Π΅ появляСтся ΠΈΠ· Π½ΠΈΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°. Π­Ρ‚Ρƒ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ описываСт Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния энСргии.

Рассмотрим Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ матСматичСского маятника.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅:

ГармоничСскиС колСбания:

НСкоторыС двиТСния, Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π±Ρ‹Ρ‚Ρƒ, Π·Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся пСриодичСским Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Часто встрСчаСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ пСрСмСщаСтся Ρ‚ΠΎ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ равновСсного состояния. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° называСтся ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

КолСбания, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· равновСсного состояния Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ дСйствия Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ собствСнными (свободными) колСбаниями. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° удалСния ΠΎΡ‚ равновСсного состояния ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° называСтся Π΅Π³ΠΎ смСщСниСм (ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Для наблюдСния мСханичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ознакомимся с колСбаниями Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°, Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ (рис. 5.1). На этом рисункС Π³Ρ€ΡƒΠ·, Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, смоТСт Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π±Π΅Π· трСния с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ стСрТнСм, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ силу тяТСсти ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² равновСсиС рСакционная сила стСрТня.
ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ упругости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ – ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Π° Π΅Π΅ масса Π½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ½Π° ΠΌΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π΅ Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ масса систСмы сосрСдоточСна Π² Π³Ρ€ΡƒΠ·Π΅, Π° ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅.

Если Π³Ρ€ΡƒΠ·, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится Π² равновСсии, потянСм Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° расстояниС ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ отпустим, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая появляСтся Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, Π³Ρ€ΡƒΠ· смСщаСтся Π²
сторону равновСсного состояния.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π‘ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ смСщСниС Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Π½ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΠΈ этом увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€ΡƒΠ· Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ равновСсного состояния, Π΅Π³ΠΎ смСщСниС (ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ) равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ соотвСтствСнно сила упругости равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Но Π³Ρ€ΡƒΠ· ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ сторону. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ силы упругости, которая появляСтся Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ растСт. Однако ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сила упругости постоянно Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² смСщСния Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°, ΠΎΠ½Π° Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ·. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° замСдляСтся, ΠΈ, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, прСкращаСтся. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ· ΠΏΠΎΠ΄ воздСйствиСм эластичСской силы сТатой ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² сторону равновСсного состояния.
Для опрСдСлСния закономСрности измСнСния Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ систСмы, которая пСриодичСски ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ колСбания, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ Π²ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΊΡƒ пСском, подвСсим Π½Π° Π²Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ ΠΏΠΎΠ΄ систСму ΠΈ раскачаСм Π²ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΊΡƒ. Π’ Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ колСбания Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ систСмы. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слСды пСска Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ синусоиду. Из этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: смСщСниС пСриодичСски ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ истСчСнии Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ измСняСтся ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ синусов ΠΈ косинусов. ΠŸΡ€ΠΈ этом самоС большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСщСния равняСтся Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π΅ (ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ):

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

здСсь: ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€“ цикличСская частота, зависящая ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ систСм, ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€“ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π°, (ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ) Ρ„Π°Π·Π° колСбания с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ.
Из ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (5.2.) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

КолСбания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими колСбаниями.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠΈΠΉ ΠΈΠ· равновСсного состояния, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π»Π° гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅: 1) ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠ· равновСсного состояния, для возвращСния Π΅Π³ΠΎ Π² равновСсноС состояниС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ внутрСнняя сила; 2) ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ воздСйствиС силы трСния ΠΈ сопротивлСния. Π­Ρ‚ΠΈ условия называСтся условиями проявлСния ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

a) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ колСбания ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€“ врСмя ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ колСбания:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ)

Π±) частота колСбания ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€“ количСство ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π·Π° 1 сСкунду:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
c) цикличСская частота ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€“ количСство ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠ΅ΠΊΡƒΠ½Π΄:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (5.5) ΠΈ (5.6) ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ (5.2) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, количСствСнно ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… гармоничСскиС колСбания, смСщСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ синусов ΠΈΠ»ΠΈ косинусов (ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ускорСниС, кинСтичСская ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия), Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ гармоничСски ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.
Π­Ρ‚ΠΎ подтвСрТдаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ уравнСниями:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. МаксимальноС смСщСниС ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 0,05 ΠΌ ΠΈ 0,12 ΠΌ/с. НайдитС максимальноС ускорСниС ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ускорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° смСщСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0,03 ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ГармоничСскиС колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника

Π’ 1985 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠœΠ΅Ρ…ΠΈΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»Π° уТасная катастрофа, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΎ зСмлСтрясСниС: 5526 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ³ΠΈΠ±Π»ΠΈ, 40 ООО Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π½Π΅Π½Ρ‹, 31000 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π±Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°. Из ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ исслСдований ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΎ врСмя зСмлСтрясСния являСтся совпадСниС частоты свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ с частотой Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π² сСйсмичСски Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π·ΠΎΠ½Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти частоты Π½Π΅ совпадали. Π­Ρ‚ΠΎ даст Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ послСдствия зСмлСтрясСния. Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΎΡ‚ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ зависят частота ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Одной ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… гармоничСскиС колСбания, являСтся ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник.

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник β€” это ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма, состоящая ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π°. КолСбания, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ маятникС, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими колСбаниями:

Под гармоничСскими колСбаниями ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ колСбания, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы, прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² направлСния пСрСмСщСния.

ИсслСдованиС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большоС практичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ рСссор автомобиля ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π·Π΄Π΅; Π² исслСдовании воздСйствия ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ тяТСлых станков, Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ эластичности ΡƒΡˆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ½ΠΎΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ диагностикС Π»ΠΎΡ€-Π·Π°Π±ΠΎΠ»Π΅Π²Π°Π½ΠΈΠΉ. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника являСтся Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ.

Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ количСства сил, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму, цСлСсообразно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π°-ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊ (d).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’ этой систСмС дСйствия силы тяТСсти ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ· состоянии равновСсия, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ растяТСнии ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ полоТСния ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠΈΠ»Π° упругости, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π² Π½Π΅ΠΉ, сообщаСт ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΡƒ ускорСниС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. По II Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния маятника ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (4.9) являСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свободных гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4.12) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника с цикличСской частотой ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ свободными гармоничСскими колСбаниями. Из ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этого уравнСния являСтся:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ тригономСтричСская функция являСтся гармоничСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими колСбаниями.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Из сравнСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (4.11) ΠΈ (4.5) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… зависят ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Из Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (4.14) ΠΈ (4.15) Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частота ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника зависят ΠΎΡ‚ ТСсткости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ массы Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°, подвСшСнного ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ.

ГармоничСскиС колСбания матСматичСского маятника

Π”ΠΎ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄Π½Π΅ΠΉ дошла такая историчСская информация: ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π² 1583 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ Π“. Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡΡŒ Π² Ρ…Ρ€Π°ΠΌΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° Пиза, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ» Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Ρ‹, подвСшСнной Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ тросС. Он, сравнивая колСбания Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Ρ‹ со своим ΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ, нСсмотря Π½Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ колСбания, врСмя, Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ колСбания) Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Ρ‹, Π½Π΅ измСняСтся. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ многочислСнных ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… исслСдований, измСняя Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½ΠΈΡ‚Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ маятника, массу подвСшСнного ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°, высоту располоТСния маятника (ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ моря), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ», ΠΎΡ‚ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ зависят ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ маятника.

ГармоничСскиС колСбания Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы тяТСсти. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ матСматичСского маятника.

Для исслСдования ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ систСму, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ ΠΈ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ° (b).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΠ² Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Для уравнСния двиТСния матСматичСского маятника ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π“Π΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° матСматичСского маятника (Π½ΠΈΡ‚ΠΈ), ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” ускорСниС свободного падСния, ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° колСбания.

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” постоянная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ускорСниС свободного падСния ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Если ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ уравнСния (4.16) ΠΈ (4.10), с Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ соотвСтствуСт ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ цикличСской частоты ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния матСматичСского маятника ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4.19) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания матСматичСского маятника ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими колСбаниями с цикличСской частотой со. Из ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этого уравнСния являСтся ниТСпривСдСнная функция:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ эта функция являСтся гармоничСской, Ρ‚ΠΎ ΠΈ колСбания матСматичСского маятника ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими колСбаниями.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… зависят ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника зависят ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ маятника ΠΈ напряТСнности Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с основными тригономСтричСскими функциями ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… гармоничСскиС колСбания.

ΠŸΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях маятника Π΅Π³ΠΎ смСщСниС измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, поэтому Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ смСщСниС измСняСтся ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинуса ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ смСщСния (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚) ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· выраТСния (4.23), ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ колСбания смСщСния ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ Π½Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(Π°).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

МаксимальноС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ΅) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости зависит ΠΎΡ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, частоты ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ускорСниС являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, колСбания ускорСния, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ колСбания скорости ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ Π½Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ° колСбания смСщСния Π½Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(см.: рис. Π°). МаксимальноС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ΅) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ускорСния зависит ΠΎΡ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹, частоты ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ энСргии ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»

ΠŸΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ кинСтичСская энСргия свободных гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ систСмС пСриодичСски ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 4.4 Π΄Π°Π½ΠΎ сравнСниС ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ энСргий Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΈ матСматичСском маятниках. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ возвращСния ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Если ΠΆΠ΅ маятник находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ равновСсия, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия минимальна:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия систСмы, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ возвращСния минимальна ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ равновСсия максимальна:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

На рисункС (Π°) Π΄Π°Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ зависимости ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ кинСтичСской энСргии ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ смСщСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Полная мСханичСская энСргия Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΎΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ постоянной (Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ учитываСтся):

a) для ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

b) для матСматичСского маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Если ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСщСния ΠΈ скорости ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ кинСтичСской энСргии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, Ρ‚ΠΎ станСт ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях эти энСргии Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ (b):

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Как Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, полная энСргия систСмы Π½Π΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

β€’ Полная энСргия гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Если ΠΆΠ΅ Π² систСмС сущСствуСт сила трСния, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ полная энСргия Π½Π΅ сохраняСтся β€” ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ мСханичСской энСргии Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ силы трСния. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ колСбания Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚: ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ энСргии ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС Π΅Π΅ кинСтичСской ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргий. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ энСргиСй Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ вслСдствиС своСго двиТСния, Π° ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия опрСдСляСтся взаимодСйствиСм Ρ‚Π΅Π»Π° с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ полями. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ систСмы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ силы трСния (сопротивлСния), сохраняСтся.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях гармоничСского осциллятора силу трСния Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ мСханичСская энСргия сохраняСтся.

Рассмотрим прСвращСния энСргии ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях матСматичСского маятника. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ систСму отсчСта Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ маятника Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π° (рис. 7), ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия максимальна, Π° кинСтичСская энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
Рис. 7. ΠŸΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ энСргии ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях матСматичСского маятника

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ полоТСния равновСсия Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ кинСтичСская энСргия (Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ максимальна:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Из Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° сохранСния мСханичСской энСргии слСдуСт (рис. 8), Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(1)

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ максимальной скорости маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(2)

Высоту ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ маятника l ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ А.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Если колСбания ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ˜Π· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° KCD Π½Π° рисункС 8 Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ I (2), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ выраТСния для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1), Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, Π° Π² полоТСниях максимального отклонСния кинСтичСская энСргия ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ.

Π’ любом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прСвращСния энСргии ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто ΠΈ для ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника (рис. 9). Π’ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΅Π³ΠΎ скорости Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (v = 0) ΠΈ кинСтичСская энСргия Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мСханичСская энСргия гармоничСского осциллятора ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π’ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0, вся энСргия осциллятора ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π³Π΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ максимальной скорости Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях.

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… полная мСханичСская энСргия

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для модуля скорости ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ЭнСргия ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС Π΅Π΅ кинСтичСской ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ систСмы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ силы трСния (сопротивлСния), сохраняСтся.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях гармоничСского осциллятора силой трСния ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ мСханичСская энСргия сохраняСтся. Рассмотрим прСвращСния энСргии ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях матСматичСского маятника. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ систСму отсчСта Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ маятника Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(рис. 10), ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия максимальна, Π° кинСтичСская энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ полоТСния равновСсия ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡ‚ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° сохранСния мСханичСской энСргии слСдуСт (см. рис. 10), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡ‚. Π΅. кинСтичСская энСргия маятника (Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ) рис. ю. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅^ΠΈhmax Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ максимальна:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ сохранСния мСханичСской энСргии, подставив Π² Π½Π΅Π³ΠΎ выраТСния для ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ кинСтичСской энСргии:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ максимальной скорости маятника:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Высоту ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΌΠ°ΡΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Если колСбания ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ˜Π· ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ(см. рис. 10) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (3) для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ выраТСния (3) для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ (4) для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1), Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, Π° Π² полоТСниях максимального отклонСния кинСтичСская энСргия ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ (рис. 11). Π’ любом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прСвращСния энСргии ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто ΠΈ для ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника (рис. 12).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… полоТСниях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ скорости маятника ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ кинСтичСская энСргия Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (6) слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мСханичСская энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π’ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ²ΡΡ энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π³Π΄Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡβ€” ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ максимальной скорости Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях.

Π’ полоТСниях ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ полная энСргия

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скорости Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° полная мСханичСская энСргия ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника Π² этот ΠΆΠ΅. ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная ΠΈ равная:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈ отсутствии Π² систСмС ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ энСргии процСсс ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ сопровоТдаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ энСргии ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ частота пСриодичСских ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ кинСтичСской (ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) энСргии ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ маятника. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ мСханичСская энСргия Ρ‚Π΅Π»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… полоТСниях маятника) ΠΈ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ β€” Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ (ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия) (рис. 13).

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–1

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник ΠΏΡ€ΠΈ колСбаниях ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ полоТСния Π΄ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ смСщаСтся Π½Π° расстояниС ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ полоТСния равновСсия достигаСт скорости, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ маятника.
Π”Π°Π½ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
РСшСниС

По Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ сохранСния мСханичСской энСргии

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–2

Π“Ρ€ΡƒΠ· массой ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ³ находится Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ Π½Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠ•Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π° расстояниС ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠΌ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΠΈ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΈ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ кинСматичСский Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ двиТСния Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
РСшСниС ΠŸΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π½Π΅ являСтся Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ вмСстС с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠ·Ρƒ сообщили ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Однако полная энСргия ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
ЦикличСская частота:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π°:
ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ (рис. 14):

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² с сайта evkova.org ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° активная ссылка Π½Π° сайт www.evkova.org

Π‘Π°ΠΉΡ‚ создан ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π° нСкоммСрчСской основС для Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ образования ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠΈ

Π‘Π°ΠΉΡ‚ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ, поддСрТиваСтся ΠΈ управляСтся ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Whatsapp ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ whatsapp ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€ΠΏΠΎΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ WhatsApp LLC.

CΠ°ΠΉΡ‚ носит ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ ΠΈ Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… условиях Π½Π΅ являСтся ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ„Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, которая опрСдСляСтся полоТСниями ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ 437 ГраТданского кодСкса Π Π€. Анна Π•Π²ΠΊΠΎΠ²Π° Π½Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… услуг.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *