как понять что число делится на 9 без остатка

Признаки делимости

Признаки делимости чисел — это особенности чисел, позволяющие определить, не выполняя деления, кратно число делителю или нет.

Чётные и нечётные числа

Чётные числа — это числа которые делятся на 2. Нечётные числа — это числа, которые на два не делятся.

Число нуль относится к чётным числам.

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) — чётная.

Признак делимости на 3. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5. На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9. На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.

Источник

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;

3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);

9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;

234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

Источник

Признаки делимости на 9 и на 3

Урок 3. Математика 6 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Признаки делимости на 9 и на 3»

В математике существуют признаки делимости чисел. Это определённые правила, которые помогают по виду числа определить, делится ли оно на заданный делитель или нет.

Делимость чисел на 10, на 5 и на 2 зависит только от последней цифры. Напомним эти признаки.

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10 без остатка.

Если число оканчивается цифрами 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка.

Если число оканчивается цифрами 2, 4, 6, 8 или 0, то оно делится на 2 без остатка.

А вот судить по последней цифре, делится ли число на 9 или на 3, нельзя. Хотя признак делимости на 9 существует.

Запишем ряд чисел, кратных 9.

По виду все числа разные, но это только на первый взгляд.

Если рассмотреть сумму цифр чисел, кратных 9, можно заметить, что сумма цифр тоже кратна 9, то есть делится на 9 без остатка.

Итак, признак делимости на 9 звучит так:

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа НЕ делится на 9, то и число НЕ делится на 9.

Если число большое, и сумма цифр числа получается тоже большая, не беда. Сложите цифры ещё раз. В этом случае судить о делимости на 9 будет проще.

Поясним, почему делимость числа на 9 зависит только от суммы его цифр.

Так рассуждать можно о делимости на 9 любого числа.

Кроме того, при нахождении чисел кратных девяти важно помнить таблицу умножения на 9. Для тех, кто ещё не выучил или уже забыл, предлагаем хороший способ запоминания.

Для делителя 3 тоже существует признак делимости, очень похожий на признак делимости на 9:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа НЕ делится на 3, то и число НЕ делится на 3.

На день рождения детям подарили три одинаковых подарка. Может ли быть, что конфет во всех подарках было 35? 47? 111?

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9 без остатка.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 без остатка.

Источник

Урок 3 Бесплатно Признаки делимости на 9 и на 3

В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости на 3 и на 9, узнаем, как по внешнему виду определить, делится ли ваше число на каждое из них.

Признаки делимости на 3 и на 9 облегчают решение задач, особенно на олимпиадах и при решении экзаменационных задач в 9 и 11 классах.

Такие полезные факты сокращают время решения заданий и легко запоминаются.

Признак делимости на 3

Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.

Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.

Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты, и в остатке одна.

Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого, и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет, и в остатке 5 (1•5) конфет.

Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим 1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.

В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.

Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Пример 1

Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3.

Решение:

По признаку делимости на 3 нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.

Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Пример 2

Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3.

Решение:

Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.

Сумма известных цифр равна 8, значит, вместо звездочки можно взять, например, 1.

Тогда сумма станет 9, и она делится на 3, значит, и получившееся число 215 будет делиться на 3.

Кроме единицы подходят цифры: 4, 7, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.

Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6.

Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.

Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8.

Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3.

Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Из признака делимости на 3 можно получить интересный признак делимости на 6

Чтобы ваше число делилось на 6, нужно чтоб оно делилось на 2 и на 3 одновременно.

Пример

Делится ли 216 на 6?

Решение:

216— это чётное число, значит, оно делится на 2.

Сумма цифр числа 216 равна 2 + 1+ 6 = 9, значит, оно делится на 3.

Отсюда, делаем вывод, что 216 делится на 6.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Признак делимости на 9

Разделим 729 ручек поровну на 9 учеников, не вычисляя, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.

В числе 729 содержится 7 сотен, 2 десятка и 9 единиц.

Если делить поровну на 9 учеников одну сотню ручек, то каждый получит по 11 ручек и 1 ручка останется. Значит, на семь сотен по 77 ручек каждому, и 7 останется.

Если делить поровну на 9 учеников один десяток ручек, то каждый получит по 1 ручке и 1 ручка останется. А от 2 десятков каждый получит по 2 (1•2) ручки, и останется 2 ручки.

Если делить поровну на 9 учеников количество ручек в единицах, то все получат по одной ручке.

Неразделёнными останутся 7 ручек от сотен, 2 ручки от десятков. Всего неразделёнными остались 7 + 2 = 9 ручек, которые делятся поровну на 9 детей.

Ещё по 1 ручке каждому, поэтому каждый получит по 77 + 2 + 1 + 1 = 81 ручке.

Значит, число 729 делится без остатка на 9, а 7 + 2— это сумма, делящаяся на сумму цифр этого числа, без остатка.

Мы рассмотрели пример того, как работает признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример 1

В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего в коровнике 136 коров? 873 коровы?

Решение:

Используем признак делимости на 9 при решении задачи.

Для первого числа сумма цифр 1 + 3 + 6 = 10, значит, число не делится на 9, так как сумма цифр не делится на 9.

136 коров не может быть в коровнике.

Для второго числа сумма цифр 8 + 7 + 3 = 18, делится на 9. Значит, и 873 делится на 9.

873 коровы могут быть в коровнике.

Пример 2

Какие цифры вместо звездочек нужно поставить в числа 34*, *75, чтобы получившиеся числа делилась на 9?

Решение:

Для первого числа 34* сумма первых двух цифр равна 3 + 4 = 7

Нужно взять такую цифру, чтобы сумма делилась на 9, например, возьмём 2

7 + 2 = 9, значит, получившееся число 342 делится на 9 без остатка

Кроме двойки другие цифры взять не получится, ведь нужно либо прибавлять к двойке 9, либо отнимать от нее 9. Всегда будет получаться число, а не цифра.

Для второго числа *75 сумма последних двух цифр равна 7 + 5 = 12

Аналогично предыдущему, подбираем цифру, чтобы получившаяся сумма делилась на 9

Такой цифрой будет 6, число получится 675

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Из признака делимости на 9 можно получить признак делимости на 99.

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, число 12573 делится на 99, так как на 99 делится сумма 73 + 25 + 1 = 99

Мы брали с конца по две цифры, а для единицы пары не нашлось, поэтому прибавляем ее как есть.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Существует множество признаков делимости, которые изучают в школе или не изучают вообще.

Некоторые из них сложны, некоторые очень просты.

Мы разберем с вами еще пару признаков, которые часто нужны, чтобы решать задачки на олимпиадах по математике. Это признаки делимости на 7 и на 11

Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Например, 154.

В нём 15 десятков и 4 единицы. 154 делится на 7, так как на 7 делится \(\mathbf<15\cdot3+4=49>\)

Или, 1001.

В нем 100 десятков и 1 единица. 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132 и 01 + 32 = 33

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

последняя цифра числа четная;

сумма цифр числа делится на 3;

число заканчивается на 0 или на 5;

сумма цифр числа делится на 9;

последняя цифра числа равна 0;

суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Источник